Ποιος ήταν ο πρώτος άνθρωπος που υπολόγισε το π; Ο πρώτος που συνειδητοποίησε ότι αν διαιρέσεις την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του παίρνεις πάντα τον ίδιο αριθμό, δηλαδή λίγο περισσότερο από 3; Δεν θα το μάθουμε ποτέ με βεβαιότητα, αλλά είναι λογικό να υποθέσουμε ότι έζησε περίπου πριν από 4000 χρόνια. 

Ας ξεκινήσουμε με τους αρχαίους Αιγυπτίους. Ένας πάπυρος που χρονολογείται γύρω στο 1550 π.Χ., ο οποίος φαίνεται να είναι ένα είδος μαθηματικού εγχειριδίου, περιλαμβάνει παραδείγματα για 84 μαθηματικά προβλήματα. Γνωστός στους σύγχρονους μελετητές ως ο Μαθηματικός Πάπυρος του Ριντ, ο συγγραφέας του, ονόματι Άχμωσης του έδωσε τον ευφυέστατο τίτλο Οδηγίες για τη Γνώση Όλων των Σκοτεινών Πραγμάτων. 

Το Πρόβλημα 48 εξηγεί πως να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου μέσα σε ένα τετράγωνο. Αν υποθέσουμε ότι το τετράγωνο έχει πλευρές μήκους 9 και ότι η διάμετρος του κύκλου είναι ίση, το πρόβλημα δείχνει ότι το εμβαδόν του κύκλου πρέπει να είναι τα 64/81 του τετραγώνου. Δεδομένου ότι το τετράγωνο έχει εμβαδόν 81, αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν του κύκλου είναι 64. Αυτό δεν είναι ένας άμεσος υπολογισμός του π, αλλά αν το εισάγουμε στον σύγχρονο τύπο για το εμβαδόν του κύκλου – πr², όπου η ακτίνα (r) είναι το μισό της διαμέτρου, δηλαδή 9/2 σε αυτή την περίπτωση – παίρνουμε π = 256/81 ή 3,16, το οποίο είναι σωστό στον πρώτο δεκαδικό. Όχι άσχημα. 

Ο Αιγύπτιος επιστήμονας δεν φαίνεται να επινόησε ο ίδιος τα προβλήματα. Το έγγραφο αναφέρει ότι είναι αντίγραφο ενός κειμένου που προέρχεται από αιώνες νωρίτερα. Έχουμε βρει παρόμοιες, αν και όχι πανομοιότυπες εκτιμήσεις σε αντικείμενα από τους αρχαίους Βαβυλώνιους και Σουμέριους, αλλά φαίνεται ότι τέτοιοι υπολογισμοί δεν ήταν καθολικοί. 

Ο Αρχιμήδης που έζησε τον 3ο αιώνα π.Χ. άρχισε να βελτιώνει τον υπολογισμό του π. Ενώ ο Άχμωσης τοποθέτησε έναν κύκλο μέσα σε ένα τετράγωνο για να υπολογίσει το π, ο Αρχιμήδης ακολούθησε μια πιο εξελιγμένη προσέγγιση. Έβαλε τον κύκλο του μέσα σε ένα εξάγωνο και μετά έναν μικρότερο εξάγωνο μέσα στον κύκλο. Υπολογίζοντας τις περιμέτρους των δύο εξαγώνων, μπορούσε να θέσει ένα άνω και ένα κάτω όριο στην περίμετρο του κύκλου και έτσι να καταλήξει σε μια ελάχιστη και μέγιστη τιμή για το π. 

Αλλά εδώ είναι το έξυπνο σημείο – ο Αρχιμήδης δεν σταμάτησε στα εξάγωνα. Εφάρμοσε την ίδια μέθοδο με δωδεκάγωνα (12 πλευρές), μετά με 24γωνα, 48γωνα και τελικά με 96γωνα. Κάθε διπλασιασμός του αριθμού των πλευρών έφερνε τα πολύγωνα όλο και πιο κοντά στην προσέγγιση ενός κύκλου, δίνοντας τελικά μια τιμή του π μεταξύ 223/71 και 22/7, δηλαδή 3,1408 και 3,1429. Τώρα είχαμε δύο δεκαδικά ψηφία του π – και ίσως αναγνωρίζετε το 22/7 ως μια κοινή προσέγγιση που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα. 

Για περίπου 1500 χρόνια, η μέθοδος του Αρχιμήδη ήταν η μόνη διαθέσιμη, αν και οι άνθρωποι κατάφεραν να αυξήσουν την ακρίβεια των εκτιμήσεων για το π. Μεταξύ αυτών ήταν ο Κινέζος μαθηματικός Zu Chongzhi, ο οποίος τον 5ο αιώνα μ.Χ. χρησιμοποίησε ένα πολύγωνο με 24.576 πλευρές για να προσεγγίσει το π μεταξύ 3,1415926 και 3,1415927, και ο Πέρσης μαθηματικός Τζαμσίντ αλ-Κασί, ο οποίος το 1424 υπολόγισε το π με ακρίβεια 16 δεκαδικών χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο με πάνω από 800 εκατομμύρια πλευρές. Ο στόχος του αλ-Κασί εκείνη την εποχή ήταν να μπορεί να υπολογίσει την περιφέρεια της ουράνιας σφαίρας (ουσιαστικά του γνωστού σύμπαντος τότε) με σφάλμα όχι μεγαλύτερο από το πλάτος μιας τρίχας αλόγου. 

Οι ιστορίες των μαθηματικών συχνά πηδούν κατευθείαν από τον Αρχιμήδη στον 17ο αιώνα και την εφεύρεση του λογισμού από τον Ισαάκ Νεύτωνα και τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς ως το επόμενο βήμα στην πορεία προς το π, αλλά μια σημαντική εξέλιξη προηγήθηκε. Ο Ινδός μαθηματικός Μάνταβα του Σανγκαμαγκράμα τον 14ο αιώνα ήταν ο πρώτος που εξέφρασε τριγωνομετρικές συναρτήσεις – όπως το συνημίτονο και το ημίτονο που γνωρίζετε ως εργαλεία για τον υπολογισμό γωνιών σε ένα τρίγωνο – ως άπειρα αθροίσματα. Αυτό του επέτρεψε να υπολογίσει τις τιμές τους βήμα προς βήμα, με ολοένα και μεγαλύτερη ακρίβεια, προσθέτοντας τον επόμενο όρο στη σειρά. 

Η εξερεύνηση του π με χαρτί και μολύβι συνεχίστηκε για τους επόμενους αιώνες. Μια προσπάθεια που αξίζει να σημειωθεί είναι αυτή του Γερμανού μαθηματικού Λούντολφ φαν Κόιλερ, ο οποίος αφιέρωσε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στο πρόβλημα. Το 1596 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Αρχιμήδη με ένα πολύγωνο άνω των 32 δισεκατομμυρίων πλευρών, υπολόγισε το π με ακρίβεια 20 δεκαδικών ψηφίων. Το 1621μετά τον θάνατό του, η σύζυγός του δημοσίευσε λεπτομέρειες για τον υπολογισμό του με 35 δεκαδικά ψηφία που βασιζόταν σε ένα πολύγωνο με πάνω από 4 τρισεκατομμύρια πλευρές. Αυτή η τιμή χαράχτηκε και στην ταφόπλακά του. 

Λίγο αργότερα έγινε σαφές ότι ο λογισμός ήταν πραγματικά ο δρόμος προς τα εμπρός, επιτρέποντας τη δημιουργία όλων των ειδών άπειρων αθροισμάτων για την προσέγγιση του π. Το 1666 ο Νεύτωνας ανέπτυξε ένα τέτοιο άθροισμα και το χρησιμοποίησε για να υπολογίσει το π με 15 δεκαδικά ψηφία, γράφοντας αργότερα: «Ντρέπομαι να σας πω σε πόσα ψηφία έφτασα αυτούς τους υπολογισμούς, αφού δεν είχα άλλη δουλειά εκείνη την εποχή». 

Ο Άγγλος μαθηματικός Τζον Μέιτσιν ήταν ο πρώτος που ξεπέρασε το φράγμα των 100 δεκαδικών το 1706 . 13 χρόνια αργότερα ο Γάλλος μαθηματικός Τομά Φαντέ ντε Λάνι δημοσίευσε 127 δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιώντας μια παρόμοια μέθοδο με του Μέιτσιν, αλλά αποδείχθηκε ότι μόνο τα πρώτα 112 ήταν σωστά. Το ρεκόρ αυξήθηκε στα 126 το 1789 και στα 152 το 1841, αφού διορθώθηκαν τα λάθη. 

Ο πρώτος υπολογισμός του π σε έναν πραγματικό σύγχρονο υπολογιστή πραγματοποιήθηκε χρησιμοποιώντας κυριολεκτικά τον πρώτο που κατασκευάστηκε ποτέ – τον Electronic Numerical Integrator and Computer, ή ENIAC. Κατασκευασμένος το 1945 από τον στρατό των ΗΠΑ, ο ENIAC χρησιμοποιήθηκε για διάφορες σοβαρές εργασίες, όπως ο υπολογισμός των επιπτώσεων των θερμοπυρηνικών όπλων. Το 1949 μια ομάδα υπό την καθοδήγηση του διάσημου πολυμαθή Τζον φον Νόιμαν πήρε άδεια να τον χρησιμοποιήσει για αριθμητικούς υπολογισμούς που βασίζονταν στο π. Οι προσπάθειές τους που διήρκεσαν 70 ώρες κατά τη διάρκεια του παρατεταμένου Σαββατοκύριακου της Εργατικής Πρωτομαγιάς (όταν ο υπολογιστής δεν θα χρησιμοποιούνταν για στρατιωτικούς σκοπούς), κατάφεραν να υπολογίσουν το π με ακρίβεια 2037 δεκαδικών ψηφίων. 

Καθώς οι υπολογιστές εξελίσσονταν, συνέχισαν να καταρρίπτουν ρεκόρ – 100.000, 1 εκατομμύριο, 10 εκατομμύρια – αλλά μέχρι τη δεκαετία του 1970, όλοι χρησιμοποιούσαν παραλλαγές της μεθόδου του Μέιτσιν. 

Στα τέλη του 20ού αιώνα αναπτύχθηκαν μια σειρά από νέες φόρμουλες, καθεμία από τις οποίες βασιζόταν σε πιο σύνθετα άπειρα αθροίσματα από τη μέθοδο του Μέιτσιν. Πολλές από αυτές εμπνεύστηκαν από ένα άπειρο άθροισμα που επινόησε ο θρυλικός Ινδός μαθηματικός Σρινιβάσα Ραμανούτζαν το 1910. Η προσέγγιση του Ραμανούτζαν στα μαθηματικά ήταν ανορθόδοξη – τα αποτελέσματά του αν και συνήθως σωστά δεν ήταν πάντα αυστηρά αποδεδειγμένα – και φαίνεται πως ο άνθρωπος του ξεχάστηκε για δεκαετίες. Μόλις οι μαθηματικοί ανέσυραν ξανά το έργο του, ωστόσο αυτό επιτάχυνε θεαματικά το κυνήγι του π. Ιδιαίτερης σημασίας είναι η μέθοδος που ανέπτυξαν το 1988 οι αδελφοί Γκρέγκορι και Ντέιβιντ Τσουντνόφσκι, οι οποίοι ήταν οι πρώτοι που έφτασαν το 1 δισεκατομμύριο δεκαδικά ψηφία. 

Η μέθοδος των αδελφών Τσουντνόφσκι εξακολουθεί να χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα. Το πιο πρόσφατο ρεκόρ σημειώθηκε τον Ιούνιο του 2024 από την ομάδα του StorageReview, μιας έκδοσης δοκιμών υλικού υπολογιστών. Η ομάδα ισχυρίζεται ότι πέτυχε ένα ρεκόρ 202 τρισεκατομμυρίων δεκαδικών ψηφίων, χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή με 28 μονάδες στερεάς κατάστασης (SSD), καθεμία με χωρητικότητα άνω των 60 terabytes (TB) – όταν ένας μέσος σύγχρονος υπολογιστής διαθέτει μόλις 1 TB. Ο υπολογισμός διήρκεσε συνολικά 85 ημέρες. 

Σε αυτό το σημείο μπορεί κανείς εύλογα να αναρωτηθεί πόσα ακόμα ψηφία του π θα μπορούσαν να χρειαστούν. Υπάρχουν διάφορες απόψεις. Για οποιονδήποτε πρακτικό υπολογισμό, ο αλ-Κασί δεν απείχε πολύ από το στόχο με τα 16 δεκαδικά ψηφία του, καθώς λίγο περισσότερα από τα διπλά – δηλαδή 37 δεκαδικά ψηφία – αρκούν για να υπολογιστεί η περιφέρεια του παρατηρήσιμου σύμπαντος με ακρίβεια αντίστοιχη με το πλάτος ενός ατόμου υδρογόνου. 

Η προσπάθεια του StorageReview όμως δείχνει πως η αριθμητική αναζήτηση του π έχει αποκτήσει έναν νέο σκοπό: λειτουργεί ως ένα είδος μαραθώνιου αριθμητικών υπολογισμών για τη δοκιμή της απόδοσης του υλικού υπολογιστών. Από αυτή την άποψη, δεν υπάρχει πραγματικό όριο στο πόσα δεκαδικά ψηφία μπορεί κανείς να υπολογίσει. 

Το π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων, γι’ αυτό και το 22/7 μπορεί να είναι μόνο μια προσέγγιση. Είναι επίσης ένας “υπερβατικός” αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί με μια πεπερασμένη αλγεβρική εξίσωση. Αυτό σημαίνει ότι το π είναι από τη φύση του άπειρο, με ατελείωτα δεκαδικά ψηφία και ποτέ δεν θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε την πραγματική του τιμή πλήρως. 

*Με στοιχεία από το NewScientist.

 

 

➪ Ακολουθήστε το OLAFAQ στο Facebook, Bluesky και Instagram.