Οι φυσικοί χρησιμοποιούν πλέον τις αρχές της κβαντικής μηχανικής για να δημιουργήσουν ένα νέο μοντέλο γύρω από την αφηρημένη έννοια του π (pi). Ή, για να το πούμε ακριβέστερα, ανέπτυξαν ένα νέο μοντέλο το οποίο περιλαμβάνει και μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα νέα αναπαράσταση του π.
Αλλά τι σημαίνει αυτό — και γιατί να χρειαζόμαστε διαφορετικές αναπαραστάσεις του π;

Η απάντηση βρίσκεται στον τρόπο που λειτουργεί η κβαντική μηχανική: όταν παρατηρεί τα μικρότερα σωματίδια του σύμπαντος, ένα-ένα, ακόμη και οι πιο απλές ερωτήσεις καταλήγουν να έχουν απίστευτα περίπλοκες απαντήσεις, που απαιτούν τεράστια υπολογιστική ισχύ. Για να φτιάξει κανείς, για παράδειγμα, τα υπερ-ρεαλιστικά γραφικά ενός βιντεοπαιχνιδιού ή μιας ταινίας όπως το Avatar, χρειάζονται ημέρες — και παρ’ όλα αυτά, το αποτέλεσμα παραμένει μακριά από την ίδια την πραγματικότητα.

Στο άρθρο τους, που δημοσιεύτηκε στο επιστημονικό περιοδικό Physical Review Letters, οι φυσικοί Arnab Priya Saha και Aninda Sinha περιγράφουν τη νέα εκδοχή ενός κβαντικού μοντέλου που καταφέρνει να μειώνει την πολυπλοκότητα των υπολογισμών χωρίς να χάνει την ακρίβεια — ένα βήμα που μπορεί να αλλάξει τον τρόπο με τον οποίο προσεγγίζουμε τη σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά, τη φυσική και την πραγματικότητα.

Αυτό ονομάζεται βελτιστοποίηση (optimization). Σκέψου πώς τα πρώτα βίντεο στο διαδίκτυο φόρτωναν σε “κομμάτια” με παρόμοια χρώματα, ή πώς οι κλασικοί animators ζωγράφιζαν στατικά σώματα και κινούσαν μόνο ορισμένα μέρη τους. Ή, πιο απλά, σκέψου τα μονοπάτια στο γρασίδι που σχηματίζονται επειδή οι άνθρωποι κόβουν δρόμο στις γωνίες — πρόκειται για την πιο καθημερινή μορφή βελτιστοποίησης.

Όπως εξηγούν στο άρθρο τους, οι Saha και Sinha συνδύασαν δύο υπάρχουσες ιδέες από τα μαθηματικά και τη φυσική:

• τα διαγράμματα Feynman που περιγράφουν τη σκέδαση σωματιδίων, και

• τη συνάρτηση beta του Euler, που χρησιμοποιείται στη θεωρία χορδών για να εξηγήσει παρόμοια φαινόμενα.

Το αποτέλεσμα είναι μια σειρά (συμβολίζεται στα μαθηματικά με το ελληνικό γράμμα Σ), η οποία περιλαμβάνει διάφορες παραμέτρους και μπορεί να οδηγήσει είτε σε μια γενικευμένη εξίσωση, είτε σε μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή. Κάποιες σειρές “διαφεύγουν” (οι όροι τους απομακρύνονται συνεχώς μεταξύ τους), ενώ άλλες συγκλίνουν, φτάνοντας τελικά σε ένα σαφές και πεπερασμένο αποτέλεσμα.

Και κάπου εκεί μπαίνει στο παιχνίδι το π (pi). Οι ψηφίες του επεκτείνονται στο άπειρο — είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακεραίων. Το γνωστό σχολικό 22/7 είναι απλώς μια παλιά προσέγγιση, που σήμερα θεωρείται υπερβολικά ανακριβής.

Η πρόκληση για τους ερευνητές δεν είναι να “ξαναανακαλύψουν” το π, αλλά να το ενσωματώσουν σε ένα κβαντικό πλαίσιο που να μπορεί να αναπαριστά τη φυσική πραγματικότητα με τον πιο οικονομικό, ακριβή και “ανθρώπινο” τρόπο — όπως ακριβώς κάνει η ίδια η φύση.

Ωστόσο, το π μπορεί να αναπαρασταθεί με εξαιρετική ακρίβεια μέσα από μια μαθηματική σειρά. Αυτό συμβαίνει γιατί οι σειρές μπορούν να “χτίζουν” αριθμητικές τιμές μέχρι και στα πιο μικροσκοπικά δεκαδικά ψηφία. Όταν ένας μαθηματικός υπολογίζει τους όρους μιας τέτοιας σειράς, δημιουργεί μια αφαίρεση που του επιτρέπει να κάνει πράξεις οι οποίες θα ήταν αδύνατες με μια απλή, κομμένη εκδοχή του π — όπως αυτή που χωράει σε μια κοινή αριθμομηχανή με δέκα δεκαδικά ψηφία.

Μια πιο λεπτομερής προσέγγιση του π δεν είναι απλώς εντυπωσιακή· είναι απαραίτητη για το είδος της νανοκλίμακας έρευνας που ενέπνευσε εξαρχής τους επιστήμονες αυτούς. Στον μικρόκοσμο των κβαντικών σωματιδίων, όπου κάθε απειροελάχιστη απόκλιση μπορεί να αλλάξει το αποτέλεσμα, η ακρίβεια γίνεται τέχνη.

«Στις αρχές της δεκαετίας του 1970», δήλωσε ο Aninda Sinha από το Indian Institute of Science, «οι επιστήμονες είχαν ασχοληθεί για λίγο με αυτή την κατεύθυνση, αλλά την εγκατέλειψαν σχεδόν αμέσως, καθώς θεωρήθηκε υπερβολικά περίπλοκη».

Τώρα, μισό αιώνα αργότερα, η ιδέα επιστρέφει, οπλισμένη με την ισχύ της σύγχρονης υπολογιστικής και την ανυπομονησία της κβαντικής εποχής — έτοιμη να αποδείξει ότι ακόμη και ένας “απλός” αριθμός όπως το π μπορεί να κρύβει μέσα του το πιο βαθύ μυστικό του σύμπαντος: την ακρίβεια ως μορφή ομορφιάς.

Ο δρόμος από τις δεκαετίες του ’70 μέχρι σήμερα αποδεικνύει πως τα μαθηματικά δεν είναι απλώς ένα εργαλείο, αλλά ένας τρόπος σκέψης που εξελίσσεται — ένα διαρκές ταξίδι μέσα στην ίδια τη φύση της πραγματικότητας. Οι Sinha και Saha ξαναγράφουν τη σχέση μας με το ίδιο το π, επαναπροσδιορίζοντας πώς το ανθρώπινο μυαλό μπορεί να προσεγγίσει το άπειρο μέσα από πεπερασμένες πράξεις. Χάρη στις σημερινές υπολογιστικές δυνατότητες και τις δεκαετίες ερευνητικής προόδου, μπορούν να αναλύουν υπάρχοντα μοντέλα, να τα επαναδομούν και να παρατηρούν πώς μια σειρά συγκλίνει στο π μέσα σε πολύ λιγότερους όρους απ’ ό,τι θεωρούσαμε δυνατό. Αυτή η απλούστευση είναι μια ποιητική νίκη της λογικής. Όσο η φυσική μας ωθεί σε ολοένα πιο περίπλοκα ερωτήματα, τόσο τα μαθηματικά βρίσκουν τρόπους να απαντούν με κομψότητα, όχι με χάος.

Η πρόοδος αυτή δεν θα υπήρχε χωρίς τα θεμέλια που έθεσαν γενιές μαθηματικών. Κάθε θεωρία που αποδεικνύεται, κάθε εξίσωση που απορρίπτεται, αποτελεί ένα βήμα προς τη συλλογική μνήμη της επιστήμης. Το γεγονός ότι σήμερα μπορούμε να φτάσουμε τόσο κοντά στην ουσία του π δείχνει πως η ικανότητά μας να προσεγγίζουμε την αλήθεια έχει εξελιχθεί παράλληλα με την ικανότητά μας να την κατανοούμε.

Όπως το είπε ο Sinha, «το να κάνεις αυτό το είδος θεωρητικής δουλειάς, ακόμη κι αν δεν έχει άμεση πρακτική εφαρμογή, προσφέρει την καθαρή απόλαυση του να κάνεις θεωρία για χάρη της ίδιας της θεωρίας». Ίσως εκεί να βρίσκεται και η πιο όμορφη όψη των μαθηματικών: η βαθιά ανθρώπινη χαρά του να αναζητάς την τελειότητα σε έναν κόσμο που δεν την προσφέρει ποτέ, αλλά πάντα την υπαινίσσεται — μέσα σε έναν αριθμό που δεν τελειώνει ποτέ.

 

 

➪ Ακολουθήστε το OLAFAQ στο Facebook, Bluesky και Instagram.